Electronic Pages  Die Homepage der Familie Beis

Eine Einführung in Sigma-Delta-Wandler

 Englische Version: An Introduction to Sigma Delta Converters

 Aktualisierung vom August 2007: Kapitel "Multibit-Wandler" und "Mathematische Operationen mit Bitstream-Signalen" sowie weitere, kleine Änderungen hinzuzugefügt

Für Fragen und Kommentaren von allgemeinem Interesse habe ich das Forum eingerichtet

Auf der Suche nach einer Einführung in die Technik der Sigma-Delta-Wandlung musste ich zu meinem Leidwesen feststellen, dass die meisten Erklärungen sehr theoretisch aufgebaut sind. Daher habe ich eine ganze Weile gebraucht, um zu verstehen, wie Sigma-Delta-Wandler wirklich arbeiten, was wiederum der Grund dafür ist, dass ich diese Einführung für einen Leserkreis verfasst habe, der, wie ich, die Dinge besser mit Hilfe von Schaltungen anstelle von abstrakten Gleichungen verstehen kann.

Um zu verstehen, worüber ich schreibe, sollten wenigstens folgende Grundkenntnisse vorhanden sein:

- Standard Analogtechnik (Operationsverstärker, Komparatoren usw.)
- Standard Digitaltechnik (Speicher, Register, Binärcodes usw.)
- Standard ADCs und DACs (Auflösung, Geschwindigkeit - und was ADC und DAC heißt)
- Was ein Tiefpassfilter ist (zumindest ein analoger)
- Das Abtasttheorem (Abtastrate > 2 x Bandbreite des Eingangssignals, Aliaseffekte)

Sigma-Delta-Wandler unterscheiden sich von anderen Wandlern grundsätzlich. Man beachte, dass ich keinen Unterschied zwischen Analog-Digital- und Digital-Analog-Wandlern mache. Beide sind sehr ähnlich, nur dass das, was bei dem einen in Analogtechnik realisiert wird, bei dem anderen als Digitalschaltung aufgebaut ist, und umgekehrt. So lässt sich ein Sigma-Delta-Wandler zur Einführung sehr gut auch als Analog-Analog-Sigma-Delta-Wandler erklären.

Blockschaltbild eines Sigma-Delta-Wandlers

Bild 1 - Blockschaltbild eines Sigma-Delta-Wandlers

Ein Sigma-Delta-ADC oder -DAC besteht immer aus einem Sigma-Delta-Modulator, der den sogenannten "Bitstream" erzeugt, und aus einem Tiefpassfilter. (Im Gegensatz zu meinem generellen Bestreben, deutsche Begriffe zu verwenden, will ich nicht versuchen, den gängigen englischen Begriff "Bitstream" durch so etwas wie "Bitstrom" oder "bitserielles Signal" zu übersetzen.)

Der Modulator wird als Digitalschaltung gebaut, wenn ein Digitalsignal als Quelle vorliegt. Ebenso wird er im Falle einer analogen Quelle als Analogschaltung realisiert. Das gleiche gilt für den Tiefpassfilter: Mit einem analogen Tiefpassfilter wird ein analoges Ausgangssignal erzeugt und mit einem digitalen ein digitales. Der digitale Tiefpassfilter wird normalerweise durch eine Digitalschaltung oder einen Algorithmus in einem Signalprozessor verwirklicht werden.

Bevor ich zum Sigma-Delta-Modulator komme, möchte ich den Bitstream und den Tiefpassfilter noch etwas näher betrachten.

Der Bitstream

Der Bitstream kann sowohl als digitales als auch als analoges Signal betrachtet werden. Der Bitstream ist ein serielles Ein-Bit-Signal mit einer sehr viel höheren Taktrate als z. B. der Datenrate des ADC. Seine wichtigste Eigenschaft ist, dass sein Mittelwert dem Mittelwert des Eingangssignals entspricht. Digital "high" stellt den höchstmöglichen, und digital "low" stellt niedrigstmöglichen Ausgangswert dar.

Einen ähnlichen Bitstream kann man in einem pulsbreitenmodulierten Signal (PWM) finden, aber das hat einige Nachteile gegenüber dem Bitstream eines Sigma-Delta-Wandlers, der auch als pulsverhältnismoduliertes Signal (PPM) bekannt ist. Die serielle Übertragung eines nummerischen Wertes (z. B. der serielle Ausgang eines konventionellen ADCs) wird dagegen als Pulscodemodulation (PCM) bezeichnet.

Der Tiefpassfilter

Der Tiefpassfilter am Ausgang wird benötigt, weil der Mittelwert des Eingangssignals aus dem Bitstream zurück gewonnen werden muss. Man kann den Bitstream als ein Signal betrachten, das die Information im unteren Teil und (sehr) viel Störspannung im oberen Teil seines Spektrums enthält. Tiefpassfilter setze ich ansonsten als bekannt voraus und werde dieses Thema nicht weiter vertiefen.

Der Sigma-Delta-Modulator

Der Sigma-Delta-Modulator ist der Kern des Sigma-Delta-Wandlers. Wie bereits erwähnt, erzeugt er den Bitstream, dessen Mittelwert immer dem Eingangssignal entspricht. Das Blockschaltbild eines einfachen, analogen Sigma-Delta-Modulators erster Ordnung sieht wie folgt aus:

Blockschaltbild eines analogen Sigma-Delta-Modulators erster Ordnung

Bild 2 - Blockschaltbild eines analogen Sigma-Delta-Modulators erster Ordnung

Man beachte, dass der Mittelwert(!) der Ausgangsspannung des Ein-Bit-DACs als Folge der negativen Rückkopplungsschleife stets gleich dem Eingangssignal sein muss.

Das digitale Gegenstück sieht genauso einfach aus:

Blockschaltbild eines digitalen Sigma-Delta-Modulators erster Ordnung

Bild 3 - Blockschaltbild eines digitalen Sigma-Delta-Modulators erster Ordnung

Wie auch in der analogen Version entscheidet der Komparator, ob sein Eingangssignal größer oder kleiner als ein bestimmter Schwellenwert ist, und gibt ein entsprechendes Ein-Bit Signal, den Bitstream, aus. Nebenbei, wegen des vorgeschalteten Integrators darf dieser Schwellenwert beliebig gewählt werden. Im digitalen Modulator reicht es aus, das MSBit des Komparator-Eingangssignals als Bitstream zu verwenden.

Ein Ein-Bit DAC kennt nur zwei Ausgangswerte. Sie werden VRef- und VRef+ genannt. Entsprechend heißen die beiden Ausgangswerte des Ein-Bit-DDCs (Digital-Digital-Konverter) DRef- und DRef+. In beiden Modulatortypen bestimmen sie seinen Eingangswertebereich. Beispiele:

Im analogen Modulator erhält man Eingangswertebereiche aus den Referenzspannungen wie folgt:

VRef- VRef+ Eingangswertebereich
0 V +1 V 0 bis +1 V
-10 V +10 V -10 V bis +10 V

Dementsprechend erhält man im digitalen Modulator mit

DRef- DRef+ Eingangswertebereich Typ
00 (hex) FF (hex) 00 (hex) bis FF (hex) Unsigned Binary Byte
8000 (hex) 7FFF (hex) -32768 bis +32767 (dezimal) Signed Binary 16 Bit

Der Schaltplan eines Ein-Bit-DDCs kann ganz einfach aus der Vervielfachung des Eingangssignals auf alle Ausgangsdatenbits bestehen:

Bild 4 - Zwei einfache Ein-Bit-DDCs
Links: Unsigned (0 bis 2n), Rechts: Signed (-2n-1 bis +2n-1-1)

Der Signalverlauf in einer analogen Version eines Sigma-Delta-Modulators sieht wie folgt aus:

Signalverlauf in einem analogen Modulator erster Ordnung

Bild 5 - Signalverlauf in einem analogen Modulator erster Ordnung

Man beachte, dass in diesem Beispiel die Taktrate, die hier gleich der Abtastrate ist, 64-mal höher als die Frequenz des Eingangssignals ist. Konventionelle Wandler erfordern eine Abtastrate, die höher als das Doppelte der höchsten Eingangsfrequenz ist. Sigma-Delta-Wandler erfordern sehr viel mehr, damit genügend Bitstream-Pulse generiert werden können. Es ist offensichtlich, dass je mehr Bitstream-Pulse generiert werden, desto besser der Mittelwert des Bitstream-Signals dem Eingangssignal entsprechen kann.

Noch einmal: Der (tiefpassgefilterte) Mittelwert des Bitstreams entspricht niemals(!) genau dem Eingangssignal. Er ist immer(!) von Störsignalen überlagert.

Ein Weg, diese Störspannung zu reduzieren, ist die Abtastrate zu erhöhen. Gemäß dem Abtasttheorem muss sie mehr als dem Doppelten der höchsten Eingangsfrequenz entsprechen. Jede weitere Erhöhung wird "Überabtastung" (Oversampling), und das Maß der Überabtastung "Überabtastrate" (Oversampling Rate) genannt. Beispiel: Angenommen wird ein Audiosignal mit einer Bandbreite von bis zu 20 kHz (und vielleicht sogar noch etwas mehr). Eine übliche Abtastrate (für DAT usw.) ist 48 kHz. In einem typischen Sigma-Delta-Wandler wird die Taktrate (die normalerweise auch die Abtastrate ist) 64 x 48 kHz = 3072 kHz sein. Das entspricht einer Überabtastrate von 64. In obigem Beispiel (Bild 4) ist die Abtastrate das 64-fache der Eingangsfrequenz. Das bedeutet, dass die Überabtastrate kleiner als das 32-fache der angenommenen Eingangsfrequenz sein muss. (Ich weiß nicht, warum in der Praxis ausschließlich Überabtastraten von 2n angewendet werden. Nach meiner Meinung ist jedes andere Verhältnis ebenso möglich.)

Ein anderer - und besserer - Weg, das Störsignal zu reduzieren, ist die Verwendung eines Sigma-Delta-Modulators höherer Ordnung. Bitstreams, die durch Modulatoren höherer Ordnung erzeugt werden, erzeugen weniger Störsignale an den Ausgängen der Tiefpassfilter. Normalerweise ist die Störspannung zufallsverteilt, d. h., es handelt sich um Rauschen. Modulatoren erster Ordnung produzieren allerdings ausgeprägte Frequenzen im Spektrum (nicht-zufallsverteilte Störsignale oder Resttöne), die nachteilhaft sind. Wenn das Eingangssignal nahe den Grenzen des Eingangsbereichs ist, ist dieser Effekt in Modulatoren erster Ordnung am ausgeprägtesten. Näher erläutert habe ich dieses Phänomen in "Nachteile von Sigma-Delta-Modulatoren erster Ordnung".

Ein Sigma-Delta-Modulator zweiter Ordnung könnte so (aber auch anders) aussehen:

Blockschaltbild eines analogen Sigma-Delta-Modulators zweiter Ordnung

Bild 6 - Blockschaltbild eines analogen Sigma-Delta-Modulators zweiter Ordnung

Der Bitstream eines solchen Modulators entspricht wesentlich eher dem idealen pulsproportionalen Signal als der vorherige. Dadurch
- kann entweder die Bandbreite des Eingangssignals höher sein,
- oder die Taktrate kann niedriger sein,
- oder die Genauigkeit des Ausgangssignals kann höher sein (weniger Rauschen),
was immer man erreichen möchte. Außerdem werden die nicht-zufallsverteilten Störsignale (bzw. die Resttöne) weitgehend vermieden.

Sigma-Delta-Modulatoren mit einer höheren Ordnung als 2 können ebenfalls gebaut werden, aber das geht nicht durch einfaches Hinzufügen von weiteren Stufen wie oben. Das liegt daran, dass die Phasendrehung, die durch mehr als 2 Integratoren entsteht, das System unstabil arbeiten lässt. Stattdessen werden Tiefpassfilter verwendet. In Sigma-Delta-Wandlern für Audioanwendungen wird typischerweise mit Modulatoren fünfter Ordnung und, wie bereits erwähnt, mit 64-facher Überabtastrate gearbeitet. Die Architektur kann anders aussehen, z. B. mit Zwei-Bit-DACs, aber das grundlegende Arbeitsprinzip bleibt das gleiche.

Modulatoren fünfter Ordnung und 64-facher Überabtastrate - warum so viel?

Eine kurze Einführung in ADC- und DAC-Störsignale

Wie bereits erwähnt, verbleibt im mittleren (tiefpassgefilterten) Bitstream immer ein Rest von Störsignalen, normalerweise als Rauschen. Der Anteil des Störsignals hängt a) von der Überabtastrate und b) von der Ordnung des Modulators, der den Bitstream erzeugt hat, ab. Es ergibt offensichtlich keinen Sinn, einen Wandler mit einem 16-Bit-Ausgang zu versehen, wenn die 8 niederwertigsten Bits (LSBits) wegen der Störsignale nur Zufallswerte annehmen.

Dass Signale, die durch ADCs gewandelt werden, Quantisierungsrauschen enthalten, ist nicht ganz unbekannt. Wo kommt das her? Wenn man an einen ADC eine Gleichspannung (DC) anlegt, bleibt der Ausgang stabil. Er repräsentiert mehr oder weniger genau den Eingangswert, aber ohne Rauschen. Wo also ist das Rauschen?

Das kommt daher, dass die Wandlung nur "mehr oder weniger genau" ist. Ein konstanter Fehler einer DC-Messung entspricht bei der Messung eines variierenden Signals (AC) einem zufälligen Fehler, was wiederum weißem (= spektral gleichverteiltem) Rauschen entspricht. Ein Digitalsignal mit n Bit Auflösung kann nur 2n verschiedene Werte annehmen, aber das Analogsignal kann jeden beliebigen Wert annehmen. Die Differenz zwischen Analogsignal und seiner digitalen Repräsentation verursacht das Problem und wird Quantisierungsrauschen genannt. In dem folgenden Beispiel wird ein Vier-Bit-ADC (= 24 = 16 Quantisierungsstufen) angenommen:

Quantisierungsrauschen in Digitalsystemen (PCM-Systemen) - Sinus

Quantisierungsrauschen in Digitalsystemen (PCM-Systemen) - Audio

Bild 7 - Quantisierungsrauschen in Digitalsystemen (PCM-Systemen), Sinussignal und Audiosignal

Es ist zu erkennen, dass mit steigender Zahl der Quantisierungsstufen das Quantisierungsrauschen reduziert wird. Bei einem idealen ADC mit n Bit Auflösung ergibt sich der Störspannungsabstand (Signal-to-Noise-Ratio, SNR) folgendermaßen:
n * 6.02 + 1.76 [dB] (oder 2n * Sqr(3/2)) bezogen auf den Effektivwert eines vollausgesteuerten Sinussignals, oder
n * 6.02 + 10.79 [dB] (oder 2n * Sqr(12)) bezogen auf die maximale Ausgangsamplitude.
So ergibt sich für einen idealen 16-Bit-ADC ein Störspannungsabstand von 98,1 dB, und für das obige Beispiel mit 4 Bit ein Störspannungsabstand von 25,8 dB.

Das Wandlungsrauschen von Sigma-Delta-Wandlern

Man beachte, dass hier das Wandlungsrauschen und nicht das Quantisierungsrauschen erläutert wird. Wandlungsrauschen ist schon im Bitstream vorhanden, während Quantisierungsrauschen durch nummerische Darstellung (analoger) Signale auftritt. Wie bereits erwähnt, hängt der Anteil des Wandlungsrauschens von der Überabtastrate und der Ordnung des Modulators ab. Es kann mathematisch ausgerechnet werden und ergibt folgende Graphen für Sigma-Delta-Modulatoren mit den Ordnungen 0, 1, 2, 3, 4 und 5:

Sigma-Delta Wandlungsrauschen

Bild 8 - Sigma-Delta Wandlungsrauschen
SNR vs. Überabtastrate und Ordnung des Modulators (0 - 5)

Damit lässt sich herausfinden, welche Parameter (Überabtastrate und Ordnung des Modulators) erforderlich sind, um einen bestimmten Störspannungsabstand zu erreichen. Wenn ein Signal quantisiert werden soll, kann man entscheiden, ob das Quantisierungsrauschen oder das Wandlungsrauschen der Flaschenhals sein soll. Für den Fall, dass beides gleich stark sein soll, wird der Gesamtstörspannungsabstand gegenüber den einzelnen Rauschanteilen um 3 dB reduziert.

Beispiel: Bei einem 16-Bit-ADC, realisiert durch einen Modulator dritter Ordnung und 64-fache Überabtastung (-106 dB Wandlungsrauschen), würden die -98 dB Quantisierungsrauschen überwiegen und durch das Wandlungsrauschen um weniger als 1 dB verschlechtert.

Diese Zahlenwerte für die Störspannungen gelten natürlich nur für ideale Wandler. Wie so oft, hängen in der Praxis die erreichbaren Störspannungsabstände u. A. von der Wandlungsrate und der Halbleitertechnologie ab.

Qualitativ hochwertige ADCs für Audio haben üblicherweise einen 24-Bit-Ausgang. Sie verwenden Modulatoren fünfter Ordnung mit 64-facher Abtastung, so dass theoretisch das Wandlungsrauschen -160 dB und das Quantisierungsrauschen -147 dB betragen würde. Wirklich gute ADCs erreichen dagegen "gerade mal" einen Störspannungsabstand von -120 dB (was 19,2 Bit Quantisierungsrauschen entspricht), weil die Modulatoren nicht ideal arbeiten (Beispiel: Cirrus Logic CS5381). 120 dB sind dennoch ein fantastischer Wert: 106 oder 1:1.000.000 entsprechen fast dem Dynamikbereich des menschlichen Ohres! Ein anderer ADC, den ich kenne, erzielt eine SNR von 140 dB, allerdings bei einer Abtastrate von "nur" 7 Hz (Linear Technology LTC2440).

Sigma-Delta-Wandler aus "Störsignal-Sicht"

Der "übliche" Weg, Sigma-Delta-Wandler zu erklären, ist das im Modulator erzeugte Störsignal zu betrachten und anschließend zu berechnen, wie viel davon nach der Tiefpassfilterung noch übrig bleibt. Das hatte mir überhaupt nicht dabei geholfen, zu verstehen, wie die Wandler funktionieren, und deshalb habe ich hier solche Betrachtungen bisher vermieden. Dennoch möchte ich einen kurzen Blick auf den mathematischen Hintergrund werfen:

Ich möchte den Frequenzgang des Blockschaltbildes eines Modulators erster Ordnung wie in Bild 2 beschreiben. Aber wie soll man das machen, wo darin so merkwürdige, nichtlineare Elemente wie Komparatoren und Speicher vorkommen? Ich habe eine Weile gebraucht, um einzusehen, dass die Komparator/Speicher-Kombination als ein Addierer mit einer Störsignalquelle verstanden werden kann, so dass sich folgendes Blockschaltbild ergibt:

Äquivalentes Blockschaltbild für die erzeugte Störspannung

Bild 9 - Äquivalentes Blockschaltbild für die erzeugte Störspannung

Man kann das so betrachten, weil a) der Modulatorausgang nach wie vor den Mittelwert des Eingangssignals führt und b) der (überwiegend zufällig) "springende" Bitstream eine Art Störspannung darstellt, genau genommen weißes Rauschen. Wer es nicht einsieht, mag weiter darüber nachdenken oder mir einfach glauben.

Nun lässt sich der Frequenzgang des Gesamtsystems sowohl vom analogen Eingang als auch von der generierten Störspannung zum Bitstream-Ausgang bestimmen. Für Modulatoren erster und zweiter Ordnung sieht das so aus:

Durch "Noise Shaping" resultierende Frequenzgänge

Bild 10 - Durch "Noise Shaping" resultierende Frequenzgänge

Im unteren Frequenzband werden die erwünschten Eingangssignale nahezu unverändert durchgelassen, während der Störspannungsanteil erheblich reduziert wird. Bei Modulatoren noch höherer Ordnung werden Störspannungen noch weiter unterdrückt. Das wird "Noise Shaping" genannt. (Auch hier will ich nicht versuchen diesen Begriff durch so etwas wie "Störspektrumsformung" zu übersetzen.) Noise Shaping ist der Grund, aus dem Modulatoren höherer Ordnung weniger Störspannung produzieren.

Wenn man nun die Störsignalabstände in Abhängigkeit von der Überabtastrate und der Ordnungen der Modulatoren berechnet, kommt man zu dem entsprechenden SNR-Diagramm in Bild 8. Aber dass will ich hier nicht ausführen, dazu empfehle ich die Intersil Application Note "A Brief Introduction to Sigma Delta Conversion". (Achtung: Figure 6 "SNR vs Oversampling Ratio" dort ist falsch. "Mein" Bild 8 sollte stattdessen verwendet werden.) Ich fand noch eine weitere interessante Abhandlung über verschiedene Arten von A/D-Wandlern, inklusive Sigma-Delta-Wandlern auf der Seite der Rane Company: Digital Dharma of Audio A/D Converters.

Decimation

(Noch ein Begriff, den ich lieber nicht mit "Dezimierung" oder "Dezimation" übersetzen mag.) Ich habe diesen Begriff bisher nicht erwähnt, weil es sich weder um einen wesentlichen Prozess noch um etwas Rätselhaftes handelt - es ist trivial.

Die Kernaussage lautet: Ohne Informationsverlust können in einem überabgetasteten Signal so viel Abtastungen ausgelassen werden, bis das Signal nicht mehr überabgetastet ist. (Deswegen heißt es ja Überabtastung!)

Bild 11 - Delta-Sigma basierter ADC mit PCM-Ausgang

Decimation findet im Sigma-Delta-Wandler hinter dem Ausgang des digitalen Tiefpassfilters statt. Der Bitstream wird mit der Abtastrate mal der Überabtastrate (z. B. der 64-fachen Abtastrate) getaktet, also wird auch der Ausgang des digitalen Tiefpassfilters mit dieser Rate getaktet. Es wird aber nicht mehr als die (einfache) Abtastrate (also die mit der doppelten Frequenz der Eingangsbandbreite) benötigt. Jetzt kommt die Decimation: Bei einer Überabtastrate von 64 wird schlicht und ergreifend nur jede 64ste Abtastung verwendet, alle anderen werden verworfen. Das ist möglich, weil durch den digitalen Tiefpassfilter die Signalbandbreite entsprechend limitiert wurde. Ziemlich simpel, oder?

Genau genommen gehört zu jedem hier dargestellten digitalen Tiefpassfilter auch ein Decimator, weil - zumindest in den Abbildungen hier - immer Digitalsignale mit einfacher Abtastrate und niemals mit der vielfachen Abtastrate gemeint sind.

Multibit-Wandler

Die Rückkopplung des Signals vom Ein-Bit-DAC zum Block "Differenz" erzeugt im analogen Modulator viel Störspannung. Man kann diese Störspannung dadurch reduzieren, dass nicht nur ein Bit, sondern mehrere Bits verwendet werden. Der Komparator in Bild 2, der eigentlich als 1-Bit-ADC arbeitet, wird durch einen N-Bit breiten ADC ersetzt und der 1-Bit-Speicher und -DAC bekommen die gleiche Breite:

Bild 12 - Sigma-Delta basierter Multibit-ADC mit PCM-Ausgang

Das Ausgangssignal des Modulators wird ebenfalls N Bit breit und kann deshalb nicht mehr als "Bitstream" bezeichnet werden. Zur Umwandlung in ein PCM-Signal ist es aber genau so gut wie ein ein Bit breiter Bitstream geeignet. Dadurch, dass jetzt weniger Störspannung entsteht, kann die Überabtastrate reduziert oder die Breite des Ausgangssignals erhöht werden. Hinweis: Die Breite N des Signals im Modulator beträgt üblicherweise nur wenige Bits.

Mathematische Operationen mit Bitstream-Signalen

Das Durchführen von mathematischen Operationen wie die Addition zweier Signale, die Multiplikation eines Signals mit einer Konstanten (oder mit einem anderen Signal) oder auch andere lineare oder nicht-lineare Operationen wie z. B. Filter ist vergleichsweise einfach für PCM-Signale zu verstehen. Aber wie geht das mit Bitstream-Signalen? Jede nicht-triviale mathematische Operation mit quantisierten Signalen führt zu signifikanten Auswirkungen auf niederwertigere Datenbits, aber beim Bitstream gibt es keine niederwertigeren Datenbits (LSBits). Das Eingangssignal ist ein Ein-Bit-Signal und das Ausgangssignal muss auch ein Ein-Bit-Signal sein!

Der erste Ansatz ist nahe liegend, aber nicht sehr klug: Man konvertiert den Bitstream in ein PCM-Signal, führt die gewünschten Operationen aus und konvertiert das Ergebnis wieder zurück in einen Bitstream:

Bild 13 - Bitstream-Operationen mit dem Umweg über PCM-Signale

In der Praxis kann der digitale Signalprozessor (DSP) dieses Blockschaltbildes ein einfacher Addierer oder Multiplizierer sein. Auch muss der zweite Bitstream-Eingang nicht unbedingt vorhanden sein.

Für diese "weniger kluge" Methode wird ein digitaler Filter/Decimator pro Eingangssignal sowie ein digitaler Modulator für das Ausgangssignal benötigt. Eine Schwäche dieses Verfahrens liegt auch im benötigten PCM-Takt (bzw. der damit zusammenhängenden Abtastrate des Signals): Ein Bitstream kennt keine andere Abtastrate als die des Bitstream-Taktes, also muss irgendeine PCM-Abtastrate eingeführt werden. Wegen des erforderlichen Tiefpassfilters und der Decimation führt das aber zwangsläufig zu einem Verlust von Bandbreite.

Der zweite Ansatz ist cleverer: Was zum Beispiel passiert, wenn man zwei Bitstream-Signale (z. B. zwei Audio-Signale) addieren will und ganz einfach die beiden Bits der Bitstreams addiert? Man bekommt ein 2-Bit-Signal (PCM, das ist nicht das, was gebraucht wird), aber dessen mittlerer Pegel repräsentiert immer noch die Summe der ursprünglichen Eingangssignale. Man braucht "nur" dieses 2-Bit-PCM-Signal in ein 1-Bit-Signal konvertieren. Dazu braucht man lediglich einen digitalen Modulator, nicht mehr und nicht weniger:

Bild 14 - Addition von zwei Bitstream-Signalen

Leichter zu verstehen ist diese Vorgehensweise, wenn man sich den in Bild 3 erläuterten digitalen Modulator genauer ansieht. Ich habe dort nicht besonders darauf hingewiesen, dass

Daher arbeitet der Subtrahierer "Differenz" in Bild 3 mit dem vollen Bitsteam-Takt und subtrahiert von dem Bitstream getakteten PCM-Ausgangssignal des Ein-Bit-DDCs ein niedrig getaktetes PCM-Signal. Dieser Subtrahierer kann natürlich auch zwei Signale mit vollem Takt subtrahieren. Während die 2-Bit-Summe der beiden Bitstreams nicht ein echtes PCM-Signal ist, das zu jedem Zeitpunkt den aktuellen Wert des Signals darstellt, kann es doch als verwendbares PCM-Signal für den digitalen Modulator betrachtet werden, denn für diesen Fall genügt es, wenn sein zeitlicher Mittelwert stimmt. Nebenbei erwähnt: Dieser Sachverhalt ähnelt sehr dem der Multibitsignale in Multibit-Wandlern.

Weil die Signalbreite im digitalen Modulator nur so breit wie dessen Eingangssignal ausgelegt sein muss, wird in diesem Beispiel die Schaltung des Modulators recht einfach, denn das vom Bitstream-Addierer kommende PCM-Eingangssignal ist nur 2 Bit breit.

Die allgemeine Lösung für mathematische Operationen mit Bitstream-Signalen sieht wie folgt aus:

Bild 15 - Mathematische Operationen direkt mit Bitstream-Signalen

Das war's auch schon. Für diese "cleverere" Lösung wird kein digitaler Filter/ Decimator pro Eingangssignal und nur ein (häufig recht einfacher) digitaler Modulator für das Ausgangssignal gebraucht.

Weitere Gedanken und Erkenntnisse

Aliaseffekte: Sigma-Delta-Wandler müssen mit erheblich höherer als dem doppelten der höchsten vorkommenden Signalfrequenz arbeiten (das das Minimum für die Abtastfrequenz z. B. digitaler Ausgänge ist). Das hat sehr willkommene Auswirkungen auf Aliaseffekte: Bei Sigma-Delta-Wandlern können nur Eingangsfrequenzen nahe der sehr hohen Abtastfrequenz im Nutzsignalbereich erscheinen (oder anders ausgedrückt: In den Nutzbereich gefaltet werden) und Aliaseffekte erzeugen, wie man deutlich an der folgenden Grafik erkennen kann:

Bild 16 - Abstände von Nutz- und Aliasfrequenzbändern

Dadurch wird offensichtlich, dass konventionelle ADCs aufwändige analoge Tiefpassfilter im Eingang benötigen, wenn eine Bandbreite nahe der Nyquist-Grenze erreicht werden soll. Bei Sigma-Delta-ADCs genügen hier einfache RC-Tiefpässe, und mit ein wenig mehr Aufwand für 2-polige Filter wird nahezu ideales Verhalten erreicht. Andererseits benötigen sie spätestens vor der Decimation einen entsprechend steilflankigen Tiefpassfilter im Ausgang, der aber in Digitaltechnik leicht, präzise und preiswert realisiert werden kann. Man beachte, dass in Praxis die Verhältnisse noch extremer als in der obigen Grafik sind, in der aus Platzgründen nur eine Überabtastrate von ca. 16 dargestellt ist.

DACs: Die Eingangssignale von DACs sind von Natur aus bandbegrenzt, so dass ein Eingangsfilter entfällt (das musste schon bei der Erzeugung der Digitalsignale vorhanden gewesen sein). Ein analoger Ausgangsfilter wird allerdings zur Unterdrückung des hochfrequenten Rauschens des Ausgangssignals benötigt.

Unendliche Auflösung des Bitstreams: Am Ausgang eines analogen Modulators enthält der Bitstream abgetastete, aber nicht quantisierte Informationen. Er hat noch die gleiche unendliche Auflösung, die auch das Analogsignal hat. Sein Signal ist natürlich mit Rauschen überlagert, aber je mehr das Rauschen ausgefiltert wird (d. h., je tiefer die Grenzfrequenz des Tiefpassfilters ist), desto höher ist die nutzbare Auflösung - ohne dass man dabei an (theoretische) Grenzen stößt. Ausgenutzt wird diese Tatsache auch durch

Direct Stream Digital (DSD) basierende Geräte: Digital arbeitende Geräte arbeiten normalerweise mit nummerischen Werten, z. B. 16-Bit-Werten, von denen jeder eine Abtastung repräsentiert. Als serielles Signal wird das PCM genannt. Sigma-Delta-ADCs und -DACs gewinnen mit Hilfe eines Tiefpassfilters diese PCM-Daten aus dem Bitstream (und umgekehrt), der ja eigentlich schon ein Digitalsignal ist.

Vollständiges Sigma-Delta-basiertes PCM-System: 2 Sigma-Delta-Wandler

Bild 17 - Vollständiges Sigma-Delta-basiertes PCM-System: 2 Sigma-Delta-Wandler

Warum sollte man den Bitstream nicht direkt aufzeichnen? Die Wandlung in Sigma-Delta-ADCs und -DACs wird in je zwei Schritten ausgeführt, und jeder Schritt hat, wie immer, negative Auswirkungen auf die Signalqualität. Wenn man die Hälfte dieser Schritte auslässt - den Filter im ADC und den Modulator im DAC - sollte die Leistung des Gesamtsystems verbessert werden. Sowohl das Quantisierungsrauschen aufgrund der endlichen Anzahl von Bits beim PCM-Signal als auch das Wandlungsrauschen des digitalen Modulators würde entfallen.

Vollständiges Sigma-Delta basiertes DSD-System: Nur 1 Sigma-Delta-Wandler

Bild 18 - Vollständiges Sigma-Delta basiertes DSD-System: Nur 1 Sigma-Delta-Wandler

Das wird tatsächlich auch so auf Super-Audio-CDs (SACDs) gemacht. Das gesamte System vom analogen Eingang bis zum analogen Ausgang erfordert nur noch je einen Modulator und einen Tiefpassfilter anstelle von je zwei, wie es bei einem konventionellen Digitalsystem der Fall ist. Zur Erinnerung: Moderne, qualitativ hochwertige ADCs und DACs arbeiten mit einer Überabtastrate von 64, also ist die Datenmenge 64 Bits pro Abtastung - verglichen mit 16 oder max. 20 oder 24 Bits, die bei konventioneller digitaler Aufzeichnung anfallen. Technisch sind SACDs DVDs und arbeiten mit einer Abtastrate von 2,8224 MHz (= 2,8224 MBit netto pro Kanal). Das ist nicht so sehr viel mehr als bei Audio CDs (0,7056 MBits netto pro Kanal) und kein Problem für DVDs mit ihrer hohen Kapazität.

Leistungsverstärker mit Digitalendstufen: Sie werden auch "D-Verstärker" bzw. im Englischen "Class-D-Amplifiers" genannt.

Bild 19 - Leistungsverstärker mit einer Digitalendstufe

Die beiden Transistoren in der Gegentaktendstufe arbeiten geschaltet, d. h., abwechselnd ist der eine leitend und der andere gesperrt. Dadurch wird das Bitstream-Signal auf den hohen Pegel der Betriebsspannung verstärkt und steht am Ausgang des Verstärkers niederohmig zur Verfügung. Um den Mittelwert aus dem Bitstream zurückzugewinnen, genügt in der Praxis ein einfacher LC-Tiefpassfilter. Ein typischer Vertreter dieser Art von Verstärkern ist der LM4670, ein einfacher und preiswerter Kleinleistungsverstärker mit analogem Eingang, so preiswert, dass man sogar auf den LC-Tiefpass verzichtet und allein die parasitäre Induktivität des Lautsprechers als "Tiefpassfilter" bleibt. Der TPA3200D1 dagegen ist aufwändiger, hat eine höhere Leistung und verfügt über einen digitalen (IIS-)Eingang.

Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, dass zum Betrieb der Digitalendstufe statt des Bitstreams eines Sigma-Delta-Wandlers auch ein entsprechend hochfrequentes, analog pulsweitenmoduliertes Signal verwendet werden kann. Bei einem analog pulsweitenmodulierten Signal gibt es im Gegensatz zu einem digital pulsweitenmodulierten Signal keine Quantisierung der Pulsweitenverhältnisse. Bei digitalen Quellen bietet sich ein PWM-Betrieb weniger an, aber bei analogen Quellen ist beides in der Praxis zu finden. Der Pulsweitenmodulator besteht dann lediglich aus einem Komparator, der ein Sägezahnsignal von z. B. einigen MHz mit dem analogen Eingangssignal vergleicht. Als Beispiel sei der TDA7490 genannt.

Welche Vor- und Nachteile hat eine derartige Digitalendstufe gegenüber einer konventionellen, analogen AB-Endstufe?

Um die beiden genannten Nachteile zu reduzieren, kann prinzipiell, wie in analogen Endstufen, mit einer Gegenkopplung sowohl die Betriebsspannungsabhängigkeit der Ausgangsspannung als auch die Ausgangssimpedanz reduziert werden. Das ist aber, wenn überhaupt, bei weitem nicht in dem Maße wie bei analogen Endstufen durchführbar, weil die Phasendrehungen im Modulator und Tiefpassfilter zusammen mit einer Gegenkopplung sehr schnell zur Instabilität führen. In der Regel werden Sigma-Delta-Endstufen ohne Gegenkopplung ausgeführt (zumindest nach meinen Erfahrungen). Auch hier sei der Vollständigkeit halber angemerkt: Bei PWM-Endstufen ist kein phasendrehender Modulator erforderlich, also ist eine Gegenkopplung deutlich einfacher bzw. effizienter realisierbar.

In Sigma-Delta-basierten Leistungsverstärkern mit analogen Eingängen gibt es einen anderen Trick, die Signalqualität drastisch zu verbessern:

Bild 20 - Leistungsendstufe als Teil eines Sigma-Delta-Modulators

Statt, wie im Bild 2, wird nicht der Bitstream über einen 1-Bit-DAC, sondern ein Teil des Ausgangssignals der Ausgangstransistoren zur Differenzbildung verwendet. Dadurch ist garantiert, dass unabhängig von allen parasitären Effekten wie Betriebsspannungsschwankungen oder Innenwiderständen der Transistoren, der Mittelwert der Spannung am Eingang des Tiefpassfilters exakt proportional zur analogen Eingangsspannung ist. Sehr gute technische Daten lassen sich mit einem solchen Konzept erreichen. Als Beispiel dafür sei der AD1996 aufgeführt. Leider ist dieser Trick nur bei Verstärkern mit analogem Eingang möglich.

Fazit: D-Endstufen bieten also einen hohen Wirkungsgrad und geringe Abwärme als Vorteil und eine geringere Signalqualität als Nachteil. Sie sind also dann günstig, wenn für allgemeine Beschallungsaufgaben hohe Leistungen auf kleinem Raum, vielleicht auch noch leicht transportabel, gebraucht werden. Sie sind weniger für hochwertige Audio-Verstärker prädestiniert. Das konstruktiv kritischste Schaltungsdetail sind die Endstufentransistoren: Je schneller sie schalten, desto geringer sind die Verluste oder desto höher kann alternativ die Schaltfrequenz gewählt werden. Letzteres erlaubt wiederum hochfrequentere Tiefpässe, die wegen ihrer geringeren Phasendrehungen im Frequenzbereich des Nutzsignals ihrerseits stärkere Gegenkopplungen zulassen, so dass sich die Signalqualität dadurch steigern lässt. Mit der fortschreitenden Technologie bei den Transistoren werden D-Endstufen daher zunehmend auch in hochwertigen Verstärkern Eingang finden.

Delta-Sigma-Wandler oder Sigma-Delta-Wandler?Die Menschheit ist sich nicht einig über die Bezeichnung. Beide Bezeichnungen sind gleich häufig zu finden, wenn man in Google sucht. Ich hatte mich entschlossen, demjenigen zuzustimmen, der im Mississippi-Delta wohnt, so dass Deltas für ihn eine besondere Bedeutung haben - und nur der Fluss Sigma ein Sigma-Delta haben kann. Das habe ich eingesehen. Später fand ich heraus, dass die Originalbezeichnung "Delta-Sigma" durch die Erfinder Inose and Yasuda geprägt wurde und die Bezeichnung "Sigma-Delta" tatsächlich nicht korrekt ist. Glück gehabt... In diesem Artikel verwende ich den Begriff Sigma-Delta nur deshalb, damit die Sucherfolge bei der Suche nach dem Begriff "Sigma-Delta" größer sind. In der Tat ist dieser Artikel nur eine Kopie des Artikels "Eine Einführung in Delta-Sigma-Wandler", bei dem ich nur die Worte vertauscht habe.


Letzte Aktualisierung: 10. Juni 2008 Fragen? Anregungen? Mailt mir! Uwe Beis